Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，關(guān)于x的方程f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（a∈R）有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）
A.（﹣1， ）
B.（1，+∞）
C.（ ，2）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）= ，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）= = ， 當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，則當(dāng)x=1時(shí) 函數(shù)取得極小值f（1）=e，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣ ，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣ =﹣ ，此時(shí)f′（x）＞0恒成立，
此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），則t＞e時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
當(dāng)t=e時(shí)，t=f（x）有2個(gè)根
當(dāng)0＜t＜e時(shí)，t=f（x）有1個(gè)根，
當(dāng)t≤0時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
則f2（x）﹣2af（x）+a﹣1=0（m∈R）有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)為t2﹣2at+a﹣1=0（m∈R）有2個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
其中0＜t＜e，t＞e，
設(shè)h（t）=t2﹣2at+a﹣1，
則 ，即 ，即 ，
即a＞ ，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ，+∞），
故選：D