Question

（2009•杭州二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角△ABC內(nèi)接于圓x²+y²=1．已知BC平行于x軸，AB所在直線方程為y=kx+m（k＞0），記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（1）若3k=

2ac

a2+c2-b2

，求cos2

A+C

2

+sin2B的值；
（2）若k=2，記∠xOA=α(0＜α＜

π

2

)，∠xOB=β(π＜β＜

3π

2

)，求sin(α+β)的值．

Answer 1

分析：（1）將k=tanB=

sinB

cosB

代入，利用余弦定理求出sinB；利用三角形的內(nèi)角和為π、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式求出值
（2）將直線方程與圓方程聯(lián)立，消去y，利用韋達定理得到A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系，利用單位圓中的三角函數(shù)的定義，將sin（α+β）用A，B的坐標(biāo)表示，求出值．

解答：解：（1）變式得：3

sinB

cosB

=

2ac

a2+c2-b2

，解得sinB=

1

3

，
原式=sin2

B

2

+sin2B=

1-cosB

2

+2sinBcosB=

9+2 2

18

；
（2）

解 x2+y2=1 y=2x+m ，5x2+4mx+m2-1=0 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=- 4m 5 ，x1x2= m2-1 5 ． sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=y1x2+x1y2=(2x1+m)x2+x1(2x2+m) =4x1x2+m(x1+x2)=- 4 5

點評：在解三角形時，若已知條件中有邊的平方一般思路考慮余弦定理；注意在單位圓中，角的正弦、余弦值是角終邊與單位圓交點的坐標(biāo)．