Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+(p+1)x+p

2x+p

（p＞0）和g（x）=18

4

5

-2^x-

81

2x+1

的定義域都是[2，4]．
（1）若p=1，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）＜2在其定義域上有解，求p的取值范圍；
（3）若f（2）+g（2）=

2

5

，求證f（x）＞g（x）．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)p=1時，f（x）=

x2+2x+1

2x+1

=

1

2

[（x+

1

2

）+

1

4(x+ 1 2 )

+1]，令t=x+

1

2

，則函數(shù)化為y=

1

2

（t+

1

4t

+1），利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得函數(shù)的最小值；
（2）f（x）＜2，可化為p＜

3x-x2

x-1

，則f（x）＜2在其定義域上有解，等價于p＜（

3x-x2

x-1

）_max，變形后利用基本函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的最大值；
（3）由f（2）+g（2）=

2

5

，可求得p=1，要證f（x）＞g（x）可證f（x）_min＞g（x）_max，由（1）可知f（x）_min，利用基本不等式可求得g（x）_max．

解答： （1）解：當(dāng)p=1時，f（x）=

x2+2x+1

2x+1

=

1

2

[（x+

1

2

）+

1

4(x+ 1 2 )

+1]，
令t=x+

1

2

，∵x∈[2，4]，∴t∈[

5

2

，

9

2

]，
則函數(shù)化為y=

1

2

（t+

1

4t

+1），y′=

1

2

（1-

1

4t2

）＞0恒成立，
∴y=

1

2

（t+

1

4t

+1）在[

5

2

，

9

2

]上單調(diào)遞增，
∴y_min=

1

2

（

5

2

+

1

10

+1）=

9

5

，即f（x）_min=

9

5

；   
（2）解：f（x）＜2，可化為p＜

3x-x2

x-1

，
故f（x）＜2在其定義域上有解，等價于p＜（

3x-x2

x-1

）_max，
而

3x-x2

x-1

=-[（x-1）-

2

x-1

-1]在[2，4]上單調(diào)遞減，
∴（

3x-x2

x-1

）_max=-（1-2-1）=2，
∴0＜p＜2；
（3）證明：f（2）+g（2）=

2

5

，即

4+2(p+1)+p

4+p

+18

4

5

-4-

81

5

=

2

5

，
解得p=1，
由（1）知，p=1時f（x）_min=

9

5

，當(dāng)t=x+

1

2

=

5

2

，即x=2時取等號；
g（x）=18

4

5

-2^x-

81

2x+1

=18

4

5

-（2^x+1）-

81

2x+1

+1≤18

4

5

-2

(2x+1)• 81 2x+1

+1=

9

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=

81

2x+1

，即x=3時取等號，
∴g（x）_max=

9

5

．
綜上可知，f（x）＞g（x）成立．

點評：該題考查函數(shù)的最值求解、函數(shù)恒成立、不等式能成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，注意：f（x）_min＞g（x）_max是f（x）＞g（x）的充分不必要條件．