Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，總有，求的最小值；

（2）對(duì)于中任意恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）令，求，分和，討論的單調(diào)性，得到的最小值；

（2）令，易知當(dāng)時(shí)，恒成立；然后再證明時(shí)，不恒成立，即得的取值范圍.

（1）令，

則，

在上單調(diào)遞增，且

若，則在上單調(diào)遞增，，即滿足條件；

若存在單調(diào)遞減區(qū)間，又，

所以存在使得與已知條件矛盾，所以，的最小值為1.

（2）由（1）知，如果，則必有成立.

令，

則，即.

若，必有恒成立，

故當(dāng)時(shí)，恒成立，

下面證明時(shí)，不恒成立.

令，，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增

故，即，故.

，

令，，

所以在上單調(diào)遞增，又，則一定存在區(qū)間 （其中），

當(dāng)時(shí)，，

則，故不恒成立.

綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍是.