分析 (1)存在滿足條件的點(diǎn)P.在梯形ACDE內(nèi)過C作CP⊥AE,垂足為P,則垂足P即為滿足條件的點(diǎn).由已知推導(dǎo)出BA⊥CP,CP⊥AB,由此能證明CP⊥平面ABE.
(2)連接BP,則∠CBP為BC與平面ABE所成角,由此能求出直線BC與平面BAE所成角的余弦值.
解答 解:(1)存在滿足條件的點(diǎn)P.在梯形ACDE內(nèi)過C作CP⊥AE,垂足為P,則垂足P即為滿足條件的點(diǎn).
證明如下:∵∠BAC=90°,即BA⊥AC,平面ACDE⊥平面ABC,
∴BA⊥平面ACDE,
又∵CP?平面ACDE,∴BA⊥CP.
由CP⊥AE,CP⊥AB,AB∩AE=A,可知CP⊥平面ABE.
(2)連接BP,由(1)可知CP⊥平面ABE,P為垂足,
∴∠CBP為BC與平面ABE所成角θ.
在RT△APC中,∠PAC=60°,∠APC=90°,
∴PC=ACsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}AC$.
在RT△BAC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}AC$,
∴在RT△BPC中,∠BPC=90°,BC=$\sqrt{2}AC$,PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}AC$,
即sinθ=sin∠CBP=$\frac{CP}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AC}{\sqrt{2}AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$,且0<θ<$\frac{π}{2}$,
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{1-\frac{3}{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$,
故直線BC與平面BAE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查使得線面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與證明,考查直線與平面所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | -20 | B. | 4 | C. | 12 | D. | 20 |
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A. | 向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位 | B. | 向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位 | ||
C. | 向左平移$\frac{π}{16}$個(gè)單位 | D. | 向右平移$\frac{π}{16}$個(gè)單位 |
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