Question

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（Ⅰ）由已知利用兩角差的正弦公式展開(kāi)可求tanA，結(jié)合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得，則有，結(jié)合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后結(jié)合和差角及輔助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，結(jié)合（I）中A可得，b，c的關(guān)系，然后利用基本不等式即可求
解答：解法一：（Ⅰ）由已知有，…（2分）
故，．…（4分）
又0＜A＜π，
所以．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得，…（7分）
故．…（8分）
=．…（10分）
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124235343230013/SYS201310251242353432300002_DA/11.png">，所以．
∴當(dāng)即時(shí)，取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得，4=b²+c²-bc，…（8分）
所以4=（b+c）²-3bc，即，…（10分）
∴（b+c）²≤16，故b+c≤4．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c，即△ABC為正三角形時(shí)，b+c取得最大值4．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．