Question

某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列．與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政府，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利．這就是說，如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變成a₂（1+r）^n-2，…．以T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額．
（Ⅰ）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系式；
（Ⅱ）求證T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個(gè)等比數(shù)列，{B_n}是一個(gè)等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)已知中Tn所表示的實(shí)際意義，根據(jù)T_n表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額，及儲(chǔ)備金總額的計(jì)算方法計(jì)算T_n，然后對(duì)其進(jìn)行分解，并對(duì)分解結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的定義進(jìn)行分析，不難得到結(jié)果．

解答：解：（I）根據(jù)在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，我們有T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
（II）T₁=a₁，對(duì)n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an，①
在①式兩端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r)．②
②-①，得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an，=

d

r

[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an，
即T_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ-

d

r

n-

a1r+d

r2

如果記A_n=

a1r+d

r2

(1+r)n，B_n=-

d

r

n-

a1r+d

r2

，則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

（1+r）為首項(xiàng)，以1+r（r＞0）為公比的等比數(shù)列；{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

為首項(xiàng)，-

d

r

為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建數(shù)列模型．