Question

函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果對?x∈R時f（x）≥2都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3得|x-1|+|x+1|≥3，結(jié)合絕對值的幾何意義即可求得其解集；
（2）先對a進(jìn)行分類討論：若a=1，則f（x）=2|x-1|不滿足題設(shè)條件．若a＜1，f（x）的最小值為1-a；a＞1，f（x）的最小值a-1從而得出對于?x∈Rf（x）≥2的充要條件是|a-1|≥2，最后得到a的取值范圍即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3得|x-1|+|x+1|≥3，由絕對值幾何意義知不等式的解集為{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}，（5分）
（2）若a=1，則f（x）=2|x-1|不滿足題設(shè)條件．
若a＜1，f(x)=

-2x+a+1，(x≤a) 1-a，(a＜x＜1) 2x-(a+1)，(x≥1)

，f（x）的最小值為1-a；（8分）
a＞1，f(x)=

-2x+a+1，(x≤1) -1+a，(1＜x＜a) 2x-(a+1)，(x≥a)

，f（x）的最小值a-1．（11分）
所以對于?x∈Rf（x）≥2的充要條件是|a-1|≥2，從而a的取值范圍（-∞，-1]∪[3，+∞）．（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查絕對值不等式的解法、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．