Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面,,，，為中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析； （II）； （Ⅲ）答案見解析 .

【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)由題意建立空間直角坐標系，求得半平面的法向量，然后結(jié)合法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)假設(shè)存在滿足題意的點，由題意結(jié)合點的坐標和向量垂直的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可確定的值.

（I）設(shè)交于點，連結(jié).

因為底面是矩形,所以為中點 .

又因為為中點 , 所以∥.

因為平面平面,所以∥平面.

（II）取的中點，連結(jié)，.

因為底面為矩形,所以.

因為，,

所以∥，所以.

又因為平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如圖，建立空間直角坐標系,則，

設(shè)平面的法向量為，

所以

令，則，所以.

平面的法向量為，則.

如圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）在棱上存在點, 使.

設(shè),則.　

因為,所以.

.

因為,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在點,使，且.