Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）a=e時(shí)，求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若f′（x）≤x²對(duì)任意的x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，若x₁，x₂∈（

1

e

，1），x₁+x₂＜1，求證：x₁•x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點(diǎn)，即可求出f（x）在x=1處的切線方程；
（2）先求出導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，設(shè)u（x）=2lnax+1-x再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx=0，利用導(dǎo)數(shù)得到g（x）在（

1

e

，+∞）上g（x）是增函數(shù)，（0，

1

e

）上是減函數(shù)，從而得出lnx1＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂），同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂），兩式相加化簡(jiǎn)即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）a=e時(shí)，f（x）=x²ln（ex），則f′（x）=2xln（ex）+x，
∴f′（1）=3，
∵f（1）=1，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-1=3（x-1），即3x-y-2=0；
（2）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2ln（ax）+1≤x在x＞0上恒成立
設(shè)u（x）=2ln（ax）+1-x，u′（x）=

2

x

-1=0，
x＞2時(shí)，單調(diào)減，x＜2單調(diào)增，所以x=2時(shí)，u（x）有最大值u（2）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以0＜a≤

e

2

（3）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx=0，x=

1

e

，
所以在（

1

e

，+∞）上g（x）是增函數(shù)，（0，

1

e

）上是減函數(shù)
因?yàn)?span id="4rahscj" class="MathJye">

1

e

＜x₁＜x₁+x₂＜1，所以g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁
即lnx1＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂）
同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂）
所以lnx₁+lnx₂＜（2+

x1

x2

+

x2

x1

）ln（x₁+x₂）
又因?yàn)?+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)“x₁=x₂”時(shí)，取等號(hào)
又x₁，x₂∈（

1

e

，1），x₁+x₂＜1，ln（x₁+x₂）＜0
所以（2+

x1

x2

+

x2

x1

）ln（x₁+x₂）≤4ln（x₁+x₂）
所以lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）
所以：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．