平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，一2），點C滿足，其中，且．

（1）求點C的軌跡方程；

（2）設點C的軌跡與橢圓交于兩點M,N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長軸長的取值范圍。

 

【答案】

（1）。

（2）由

以MN為直徑的圓過原點O，

為定值。

（3）橢圓長軸的取值范圍是。

【解析】

試題分析：（1）設，由可得

有，即點C的軌跡方程為                 4分

（2）由

設

則

∵以MN為直徑的圓過原點O，

為定值               9分

（3）

∴橢圓長軸的取值范圍是                     12分

考點：本題主要考查軌跡方程求法，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，本題求軌跡方程，主要運用的是平面向量的線性運算及向量的坐標運算和向量的相等。研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1）、B（-1，3），若點C滿足
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡方程為（　�。�
A、3x+2y-11=0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2x-y=0
D、x+2y-5=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知水平地面上有一籃球，在斜平行光線的照射下，其陰影為一橢圓（如圖），在平面直角坐標系中，O為原點，設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），籃球與地面的接觸點為H，則|OH|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O（0，0），P（6，8），將向量
OP
按逆時針旋轉(zhuǎn)
π
4
后，得向量
OQ
則點Q的坐標是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩定點A（1，0）、B（0，-1），動點P（x，y）滿足：
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡與雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的離心率等于
3
，求雙曲線C的方程．

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