Question

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-

2

9

a，若存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

Answer 1

由題意，存在x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），轉(zhuǎn)化為存在x∈[-1，

a

3

]（a＞0），使得（f（x）-g（x））_min＜0即可，
令h（x）=f（x）-g（x）=x³+x²-x+

2

9

a，則h′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）
令h′（x）＞0解得x＜-1或x＞

1

3

，即h（x）在區(qū)間（-∞，-1）與（

1

3

，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，

1

3

）上是減函數(shù)
又x₀∈[-1，

a

3

]（a＞0），
當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）在區(qū)間[-1，

a

3

]上是減函數(shù)，最小值為h（

a

3

）=

a3

27

+

a2

9

-

a

3

+

2a

9

=

a3

27

+

a2

9

-

a

9

令h（

a

3

）＜0，解得

-3- 15?

2

＜a＜

-3+ 15?

2

，故0＜a＜

-3+ 15?

2

符合要求
當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）在區(qū)間[-1，

1

3

]減，在[

1

3

，

a

3

]上是增函數(shù)，故最小值為h（

1

3

）=

1

27

+

1

9

-

1

3

+

2

9

a
h（

1

3

）＜0，解得a＜

5

2

，故1＜a＜

5

2

綜上知，符合條件的參數(shù)a的取值范圍是0＜a＜

-3+ 15?

2

或1＜a＜

5

2