Question

如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A和B，且

AB

與

n

=（

2

，-1）共線(xiàn)．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)y=kx+m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，總使

OP

•

OQ

＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由A（a，0）、B（0，b），知

AB

=（-a，b），由

AB

與

n

=（

2

，-1）共線(xiàn)，知a=

2

b，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直線(xiàn)方程y=kx+m代入橢圓方程

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，故x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

，△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=（-a，b），
∵

AB

與

n

=（

2

，-1）共線(xiàn)，
∴a=

2

b，
∵焦距為2，
∴c=1，
∴a²-b²=1，
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直線(xiàn)方程y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

，
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）                
∵

OP

•

OQ

＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂＜0，
∵y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-2k2

2k2+1

，
∴

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

＜0，
∴m²＜

2

3

k2+

2

3

，
∴m²＜

2

3

且滿(mǎn)足（*）     
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-

6

3

，

6

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓參數(shù)方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．屬于中檔題．