Question

若命題P：函數(shù)f（x）=x³-ax-2在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；則命題P成立的充要條件

 

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Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡易邏輯

分析：求f′（x）=3x²-a，根據(jù)條件：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，得到x∈（1，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，這樣即可得到a≤3x²恒成立，所以求3x²在（1，+∞）上的最小值即得a的取值，得出的a的取值便是命題P成立的充要條件．

解答： 解：f′（x）=3x²-a；
∵f（x）在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
∴3x²-a≥0在x∈（1，+∞）內(nèi)恒成立，即a≤3x²恒成立；
∵x∈（1，+∞）時，3x²＞3，∴a≤3；
即a∈（-∞，3]；
∴命題P成立的充要條件是a∈（-∞，3]．
故答案為：（-∞，3]．

點評：考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，充要條件的概念．