Question

19．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，證明：
（1）BC₁∥平面CDA₁；
（2）平面ABB₁A₁⊥平面CDA₁．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，則AG=GC₁，而AD=DB，則DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根據(jù)線面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC；
（2）由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知平面ABB₁A₁⊥平面ABC，再由D為AB的中點(diǎn)，得CD⊥AB，則CD⊥平面ABB₁A₁，由平面與平面垂直的判定得答案．

解答 證明：（1）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AG=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC；
（2）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，則CD⊥平面ABB₁A₁，
而CD?平面ABC，
∴平面ABB₁A₁⊥平面CDA₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了平面與平面垂直的判斷，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．