Question

4．在直角坐標(biāo)系中，已知：A（cosx，sinx），B（1，1），O為坐標(biāo)原點，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²．
（Ⅰ）求f（x）的對稱中心的坐標(biāo)及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x₀）=3+$\sqrt{2}$，x₀∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，求tanx₀的值．

Answer 1

分析 （I）由已知可得$\overrightarrow{OC}$=（1+cosx，1+sinx），進(jìn)而由f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²結(jié)合和差角公式，可將f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而得到函數(shù)圖象的對稱中心及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x₀）=3+$\sqrt{2}$，則sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合x₀∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，可得x₀，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵A（cosx，sinx），B（1，1），$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（1+cosx，1+sinx）-------2分
∴f（x）=|$\overrightarrow{OC}$|²=（1+cosx）²+（1+sinx）²=3+2（sinx+cosx）=3+2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）…4分
（Ⅰ）由x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z得：x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴f（x）的對稱中心是（kπ-$\frac{π}{4}$，3）k∈Z，…6分
由x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減是[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，k∈Z…8分
（Ⅱ）∵f（x₀）=3+2$\sqrt{2}$sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=3+$\sqrt{2}$，
∴sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x₀∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，即x₀+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，π]，
∴x₀+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，
∴x₀=$\frac{7π}{12}$．
∴tanx₀=tan（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$=-2-$\sqrt{3}$-----12分

點評 本題考查的知識點是向量的模，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的求值，難度中檔．