【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖圓柱高為 ，半徑為 ，不計厚度，單位：米），按計劃容積為 立方米，且 ，假設(shè)建造費用僅與表面積有關(guān)（圓柱底部不計 ），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米的費用為2千元，設(shè)該容器的建造費用為y千元.

（1）求y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系，并求其定義域；
（2）求建造費用最小時的 .

【答案】
（1）解：由容積為 立方米，得 ,解得 ,又圓柱的側(cè)面積為 ，半球的表面積為 ，所以建造費用 ，定義域為 .

（2）解： ，又 ，所以 ，所以建造費用 ，在定義域 上單調(diào)遞減，所以當r=3時建造費用最小.

【解析】(1)由該幾何體的容積等于圓柱的體積加上半球的體積可求出h=≥2r解得r的取值范圍，再利用該幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積加上半球的表面積，進而得出建造費用的函數(shù)解析式。(2)根據(jù)題意對原函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題意討論導(dǎo)函數(shù)的正負即可得出原函數(shù)的單調(diào)性，進而得出建造費用的最小.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)， ），以坐標原點o為極點，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位，建立極坐標系.曲線
（1）若直線l曲線 相交于點 ， ， ，證明： 為定值；
（2）將曲線 上的任意點 作伸縮變換 后，得到曲線 上的點 ，求曲線 的內(nèi)接矩形 周長的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè) 是兩個平面， 是兩條直線，有下列四個命題：
⑴如果 ，那么 .
⑵如果 ，那么 .
⑶如果 ，那么 .
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）= ，則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點之和為（ ）
A.3a﹣1
B.1﹣3a
C.3﹣a﹣1
D.1﹣3﹣a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準 (噸)，一位居民的月用水量不超過 的部分按平價收費，超出 的部分按議價收費，為了了解居民用水情況，通過抽祥，獲得了某年100位居民毎人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照 分成 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中a的值；
（2）若該市有110萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 噸的人數(shù)，并說明理由；
（3）若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過標準 (噸)，估計x的值(精確到0.01)，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=e2x ， g（x）=lnx+ ，對a∈R，b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），則b﹣a的最小值為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩點A（-2，0），B（0，1），點P是圓（x-1）2+y2=1上任意一點，則△PAB面積的最大值是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知坐標平面上的凸四邊形 ABCD 滿足 =（1， ）， =（﹣ ，1），則凸四邊形ABCD的面積為； 的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)a，b∈R，函數(shù) ，g（x）=ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．

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