Question

（1）求y=x(x2+

1

x

+

1

x3

)的導數；
（2）求y=(

x

+1)(

1

x

-1)的導數；
（3）求y=x-sin

x

2

cos

x

2

的導數；
（4）求y=

x2

sinx

的導數；
（5）求y=

3x2-x x +5 x -9

x

的導數分

Answer 1

分析：（1）化簡函數，利用和的導數法則及冪函數的導數公式求出導函數
（2）先化簡函數，再利用導數的運算法則求出導函數．
（3）利用三角函數的二倍角公式化簡函數，利用差的導數法則及三角函數的導數公式求出導函數．
（4）利用商的導數運算法則求出導函數．
（5）先化簡函數，再利用和差的導數運算法則求出導函數．

解答：解：（1）∵y=x³+1+

1

x2

，
∴y′=3x²-

2

x3

（2）先化簡，y=

x

•

1

x

-

x

+

1

x

-1=-x

1

2

+x-

1

2

∴y′=-

1

2

x-

1

2

-

1

2

x-

3

2

=

-1

2 x

（1+

1

x

）
（3）先使用三角公式進行化簡．
y=x-sin

x

2

cos

x

2

=x-

1

2

sinx
∴y′=（x-

1

2

sinx）′=x′-

1

2

（sinx）′=1-

1

2

cosx
（4）y′=

(x2)′ sinx-x2*(sinx)′′

sin2x

=

2xsinx-x2cosx

sin2x

；
（5）∵y=3x

3

2

-x+5-9x

1

2

∴y′=3*（x

3

2

）'-x'+5'-9（x

1

2

）'=3*

3

2

x

1

2

-1+0-9*（-

1

2

）x

3

2

=

9

2

x

(1+

1

x2

)-1

點評：本題考查利用導數運算法則求函數的導函數時，先化簡函數解析式，再利用運算法則及基本初等函數的導數公式求．