Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-2與x=1處有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；    
（2）求f（x）在[-3，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫(xiě)出函數(shù)的解析式．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，求出極值，把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+1，f′（x）=3x²+2ax+b        
由f′（-2）=12-4a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0   
得a=

3

2

，b=-6                    
經(jīng)檢驗(yàn)，a=

3

2

，b=-6符合題意
∴f（x）=x³+

3

2

x²-6x+1
（2）由（1）得f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1），
列表

x	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，2）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

且f（-3）=

11

2

，f（-2）=11，f（1）=-

5

2

，f（2）=3
經(jīng)比較可知f（x）在[-3，2]上的最大值為11，最小值為-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出函數(shù)的極值和函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的值，把這些值進(jìn)行比較，得到最大值和最小值，屬于中檔題．