Question

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

2π

3

，將y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，cos（A-C）+cosB=

3

2

，b²=ac，求角B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先將函數(shù)化簡(jiǎn)為f（x）的解析式，再由周期公式，求出ω，根據(jù)g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)增區(qū)間．
（2）注意角的范圍以及三角形的內(nèi)角和，對(duì)角的三角函數(shù)值的制約化簡(jiǎn)cos（A-C）+cosB=

3

2

，并利用正弦定理得到sinB=

3

2

（負(fù)值舍掉），從而求出答案．

解答： 解：（1）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2
依題意得

2π

2ω

=

2π

3

，
故ω=

3

2

，g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2=

2

sin（3x-

5π

4

）+2
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

（k∈Z）
故y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

]（k∈Z）．
（2）解：由cos（A-C）+cosB=

3

2

及B=π-（A+C）得
cos（A-C）-cos（A+C）=

3

2

，
∴cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=

3

2

，
∴sinAsinC=

3

4

．
又由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
故sin²B=

3

4

，
∴sinB=

3

2

或sinB=-

3

2

（舍去），
于是B=

π

3

或B=

2π

3

．
又由b²=ac
知b≤a或b≤c
∴B=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調(diào)區(qū)間的求法．三角函數(shù)給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵就是分析已知角與未知角的關(guān)系，然后通過(guò)角的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓�式，即：如果角與角相等，則使用同角三角函數(shù)關(guān)系；如果角與角之間的和或差是直角的整數(shù)倍，則使用誘導(dǎo)公式；如果角與角之間存在和差關(guān)系，則我們用和差角公式；如果角與角存在倍數(shù)關(guān)系，則使用倍角公式．