Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+cx，滿足：①函數(shù)f（x）圖象過點（3，-6）；②函數(shù)f（x）在x₁，x₁處取得極值且|x₁-x₂|=4．
求：（1）函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a，β∈R，求證：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+c=0
由②知c=-12a
∵函數(shù)f（x）圖象過點（3，-6）；
∴27a+3c=-6
∴，
故；
（2）若α，β∈R，2cosα，2sinβ∈[-2，2]，
而y′=2x²-8≤0在[-2，2]恒成立，故y=f（x）在[-2，2上是減函數(shù)
∴
∴∴
分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理得到關(guān)于a，c的等式，將點（3，-6）代入f（x）的解析式得到a，c的另一個等式，解方程組求出a，c的值，代入f（x）中得到其解析式．
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)在[-2，2]上的符號，判斷出函數(shù)在[-2，2]上的單調(diào)性，求出f（x）在[-2，2]上的最值，得證．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．