Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知a=6，A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若△ABC的面積等于9$\sqrt{3}$，求b，c；
（Ⅱ）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，又△ABC的面積等于9$\sqrt{3}$，得bc=36．聯(lián)立方程組即可解得b，c．
（Ⅱ）由題意化簡(jiǎn)可得：sinBcosC=2sinCcosC，分類討論cosC的值，解得b，c，利用面積公式即可得解．

解答 （本題共計(jì)8分）
 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，b²+c²-bc=36，…（1分）
又因?yàn)椤鰽BC的面積等于9$\sqrt{3}$，所以$\frac{1}{2}$bcsinA=9$\sqrt{3}$，得bc=36．…（2分）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{^{2}+{c}^{2}-bc=36}\\{bc=36}\end{array}\right.$，解得b=6，c=6．…（4分）
（Ⅱ）由題意得sin（B+C）+sin（B-C）=4sinCcosC，
即sinBcosC=2sinCcosC，…（5分）
當(dāng)cosC=0時(shí)，C=$\frac{π}{2}$，B=$\frac{π}{6}$，b=2$\sqrt{3}$，c=4$\sqrt{3}$，…（6分）
當(dāng)cosC≠0時(shí)，得sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{^{2}+{c}^{2}-bc=36}\\{b=2c}\end{array}\right.$，解得b=4$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$．…（7分）
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=6$\sqrt{3}$．…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理的綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于基本知識(shí)的考查．