Question

已知偶函數(shù)f（x）的周期為6，且當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=x²-4x+4，g（x）=f（x）-

1

2

x

，則g（x）的零點(diǎn)有（　　）

A．21個(gè)

B．22個(gè)

C．23個(gè)

D．24個(gè)

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)的周期性和偶函數(shù)圖象的性質(zhì)畫出y=f（x）的圖象，以及y=

1

2

x

的圖象，結(jié)合圖象求出在[0，6]上和在[6，12]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求出

1

2

x

=4時(shí)的解，y=

1

2

x

的圖象在y=f（x）的圖象上方的臨界點(diǎn)，再由周期性和圖象求出g（x）=f（x）-

1

2

x

|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：由題意得，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，
由偶函數(shù)f（x）的周期為6畫出函數(shù)f（x）的圖象，并在同一坐標(biāo)系中畫出y=

1

2

x

的圖象，

由圖得，在[0，6]上y=f（x）與y=

1

2

x

的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，在[6，12]上有2個(gè)交點(diǎn)，即以后相交的每個(gè)周期都有2個(gè)交點(diǎn)，
再由y=

1

2

x

=4得，x=64，則區(qū)間[0，64]共有10個(gè)周期和

2

3

個(gè)周期，而

2

3

個(gè)周期的圖象如[6，10]上的圖象：只有1個(gè)交點(diǎn)，
∵y=

1

2

x

在[0，+∞）上遞增，
∴y=f（x）與y=

1

2

x

有且僅有：4+9×2+1=23個(gè)交點(diǎn)，
則g（x）=f（x）-

1

2

x

有23個(gè)零點(diǎn)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法以及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)f（x）性質(zhì)正確作出其圖象，再將函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，此一轉(zhuǎn)化使得本題的求解變得較容易，注意求出臨界點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合思想．