Question

（2013•房山區(qū)一模）在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=

1

2

AD=1，PA=PD，E，F(xiàn)為AD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PC與AB所成角為45°，求PE的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，可聯(lián)想連結(jié)AC，交BE于一點(diǎn)O，即可證明O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，利用三角形中位線知識證得線線平行，從而得到線面平行；
（Ⅱ）以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩條異面直線所成角為45°，結(jié)合給出的線段的長度，即可求出PE的長度；
（Ⅲ）求出兩個平面FBE與BEA的法向量，利用兩個平面法向量所成的角求二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O，并連接EC，F(xiàn)O，
∵BC∥AD，BC=

1

2

AD，E為AD中點(diǎn)，∴AE∥BC，且AE=BC．
∴四邊形ABCE為平行四邊形，則O為AC中點(diǎn)．
又F為AD中點(diǎn)，∴OF∥PA．∵OF?平面BEF，PA?平面BEF．∴PA∥平面BEF．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，E為AD中點(diǎn)，∴PE⊥AD．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD．
易知 BCDE為正方形，∴AD⊥BE．
建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz，

設(shè)PE=t（t＞0），
則E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，t），C（-1，1，0）
∴

PC

=(-1，1，-t)，

AB

=(-1，1，0)．
∵PC與AB所成角為45°，
∴|cos＜

PC

，

AB＞

|=|

PC • AB

| PC || AB |

|=|

(-1)×(-1)+1×1+(-t)×0

2+t2 × 2

|
=cos45°=

2

2

，
解得：t=

2

，∴PE=

2

．
（Ⅲ）解：∵F為PC的中點(diǎn)，所以F=(-

1

2

，

1

2

，

2

2

)，

EB

=(0，1，0)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，

2

2

)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面BEF的法向量，
則 

n • EB =y=0 n • EF =- 1 2 x+ 1 2 y+ 2 2 z=0

取x=2，則z=

2

，得

n

=(2，0，

2

)．

EP

=(0，0，

2

)是平面ABE的法向量．
∴|cos＜

n

，

EP＞

|=

| n • EP |

| n || EP |

=

3

3

．
由圖可知二面角E-AC-B的平面角是鈍角，
所以二面角E-AC-B的余弦值為-

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定，考查了利用空間向量求二面角的余弦值，解答的關(guān)鍵是空間坐標(biāo)系的正確建立，同時(shí)需要注意的是平面法向量所成的角和二面角的關(guān)系，此題是中檔題．