Question

7．在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（1）求直線AP與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值大小；
（2）求點P到平面ABD₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由題設條件，連接PB，即可得出AP與平面BCC₁B₁所成的角為∠APB，用公式求出線面角的正弦．
（2）建立空間坐標系，用向量法求點到面的距離，求線段對應的向量在面的法向量的投影的長度即可．

解答 解：（1）如圖，連接PB，由正方體的性質知∠APB即為所求的線面角，
∵CC₁=4CP，∴CP=1，由勾股定理知BP=$\sqrt{17}$，AB=$\sqrt{33}$
∴sin∠APB=$\frac{4}{\sqrt{33}}$=$\frac{4\sqrt{33}}{33}$；
（2）建立如圖的空間坐標系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，4），B（4，4，0）
如圖$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，4）$\overrightarrow{AP}$=（-4，4，1）
令面ABD₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
故有$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{y=0}\end{array}\right.$
令x=1，則z=1，故$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）
故點P到平面ABD₁的距離d=$\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線面角，考查向量法求點到面的距離，在做題時應根據題目的條件靈活選用解題的方法．