Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x-1，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（II）若直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，即函數(shù)f（x）=x³-3x-1的極大值和極小值分別在直線y=m兩側(cè)，構(gòu)造不等式組，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，…（2分）
∴當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0，當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，…（4分）
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-1，1]． …（6分）
（Ⅱ）由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3． …（10分）
因為直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個不同的交點，
∴-3＜m＜1，即m的取值范圍是（-3，1）．…（12分）

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及根的存在性及根的個數(shù)判斷．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．