證明：任何不大于n！的自然數(shù)，都能表示成不多于n個(gè)數(shù)的和，在這些加數(shù)中，沒有兩個(gè)是相同的，而且任何一個(gè)都是n！的因數(shù)．

證明：對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法，

n＝1時(shí)，顯然．

設(shè)n時(shí)結(jié)論真．

對(duì)a≤(n＋1)！，將a除以n＋1得a＝d(n＋1)＋r，這里d≤n！，0≤r＜n＋1．

由歸納假設(shè)，d＝d1＋d2＋…＋dl，l≤n．且所有di是n！的不同因數(shù)(i＝1，2，…，l)．

于是                              a＝d1(n＋1)＋…＋dl(n＋1)＋r

這個(gè)和中的加數(shù)不多于n＋1個(gè)，其中每一個(gè)都是(n＋1)！的因數(shù)，且全不相等．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L=1275．現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的，r1稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為r2；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為r3）、第四組（余差為r4）、…，直至第N組（余差為rN）把這些數(shù)全部分完為止．
（Ⅰ）判斷r1，r2，…，rN的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)構(gòu)成第n（n＜N）組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與rn的大小關(guān)系，并證明rn-1＞
150n-Ln-1
；
（Ⅲ）對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：N≤11．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=
0   當(dāng)i∉AJ時(shí)
1        當(dāng)i∈AJ時(shí)  
．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：
5cmn
-
cmcn
＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
1 2 3 4 5 6 7
1 0
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6 0
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=數(shù)學(xué)公式．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：數(shù)學(xué)公式-數(shù)學(xué)公式＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
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30
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年安徽省安慶一中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個(gè)不同的子集，對(duì)于任意不大于n的正整數(shù)i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個(gè)Ai至少含有三個(gè)元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表（即n×n數(shù)表），規(guī)定第i行第j列數(shù)為：aij=．
（1）該表中每一列至少有多少個(gè)1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請(qǐng)完成下面7×7數(shù)表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數(shù)式表示n×n數(shù)表中1的個(gè)數(shù)f（n），并證明n≥7；
（3）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為f（n），數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為：cn=5an+1，證明不等式：-＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．（第1小題用表）
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