Question

（2012•德陽二模）已知

a

=（cos

x

2

，

3

sin

x

2

），

b

=（sin

x

2

，-sin

x

2

），f（x）=

a

•

b

+

3

2

．
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，f（A）=1，AB=2，BC=3．求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的增區(qū)間；
（2）由f（A）=1及第一問確定的f（x）解析式，A為三角形的內(nèi)角，得到A的度數(shù)，再由AB，BC及cosA的值，利用余弦定理求出AC的長，再由AC，AB及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵

a

=（cos

x

2

，

3

sin

x

2

），

b

=（sin

x

2

，-sin

x

2

），
∴f（x）=

a

•

b

+

3

2

=cos

x

2

sin

x

2

-

3

sin²

x

2

+

3

2

=

1

2

sinx-

3

2

（1-cosx）+

3

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
則f（x）的增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由f（A）=sin（A+

π

3

）=1，且A為三角形的內(nèi)角，得到A=

π

6

，
∵AB=2，BC=3，cosA=

3

2

，
∴由余弦定理BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA得：9=AC²+4-2

3

AC，
整理得：AC²-2

3

AC-5=0，
解得：AC=

3

+2

2

或AC=

3

-2

2

（舍去），
則S_△ABC=

1

2

AC•AB•sinA=

1

2

×（

3

+2

2

）×2×

1

2

=

3

2

+

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．