Question

已知函數(shù)f（x）=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g（x）=

x 1 3 +x- 1 3

5

．
（1）證明f（x）是奇函數(shù)，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分別計(jì)算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g（x）對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）分別計(jì)算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，根據(jù)條件進(jìn)行歸納即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
則f（x）=

(-x) 1 3 -(-x)- 1 3

5

=-

x 1 3 -x- 1 3

5

=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y=x

1

3

為增函數(shù)，y=x-

1

3

為減函數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得到此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的等式是：f（x²）-5f（x）•g（x）=0，
下面給予證明：∵f（x²）-5f（x）•g（x）=

x 2 3 -x- 2 3

5

-5×

x 1 3 -x- 1 3

5

×

x 1 3 +x- 1 3

5

=

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)-

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)=0，
∴f（x²）-5f（x）•g（x）=0對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明及歸納推理，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．