Question

中心在原點的雙曲線C₁的一個焦點與拋物線C₂：y²=8x的焦點F重合，拋物線C₂的準線l與雙曲線C₁的一個交點為A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C₁的方程；
（Ⅱ）若過點B（0，1）的直線m與雙曲線C₁相交于不同兩點M，N，且=λ．
①求直線m的斜率k的變化范圍；
②當直線m的斜率不為0時，問在直線y=x上是否存在一定點C，使⊥（-λ）？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由條件得F（2，0），l：x=-2．
設(shè)所求雙曲線方程為（a＞0，b＞0），
直線l與x軸交于F′，根據(jù)|AF|=5，|FF′|=4，
得|AF′|=3，
從而．
解得a=1，b=．從而所求的雙曲線方程為：x²-=1；

（Ⅱ）①設(shè)直線m：y=kx+1，代入x²-=1得，
（3-k²）x²-2kx-4=0，
∵直線m與曲線C₁交于兩點M，N．
∴，
解得-2＜k＜-，或-＜k＜，或＜k＜2．
②設(shè)M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由上面可得，
由，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
∴x₁=-λx₂，
設(shè)存在點C（t，t），
則
=（x₁-λx₂+t（λ-1），y₁-λy₂+t（λ-1）），
又，從而由，
得y₁-λy₂+t（λ-1）=0．
因直線m的斜率不為零，故λ≠1．
所以解得t===1+k?．
因為λ=-，代入得t=1+k?，
因為，
代入得t=-3，即存在點C（-3，-3），滿足要求．
分析：（Ⅰ）設(shè)所求雙曲線方程為（a＞0，b＞0），直線l與x軸交于F′，根據(jù)|AF|=5，|FF′|=4，能夠求出所求的雙曲線方程．
（Ⅱ）設(shè)直線m：y=kx+1，代入x²-=1得，（3-k²）x²-2kx-4=0，由直線m與曲線C₁交于兩點M，N，能求出-2＜k＜-，或-＜k＜，或＜k＜2．設(shè)M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），得，由，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），所以x₁=-λx₂，由此入手能夠求出存在點C（-3，-3），滿足要求．
點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．