Question

已知函數f（x）的定義域為（-2，2），導函數f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，則滿足f（1+x）+f（x-x²）＞0的實數x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由函數的導函數可知原函數為定義域內的增函數，且求得原函數，可知原函數是奇函數，把不等式
f（1+x）+f（x-x²）＞0變形后由單調性去掉“f”，求解不等式組得答案．

解答： 解：∵f′（x）=2+cosx＞0，
∴函數f（x）在定義域（-2，2）內為增函數，
由f′（x）=2+cosx，可得f（x）=2x+sinx．
∴函數f（x）為定義域上的奇函數且在x=0處有定義．
由f（1+x）+f（x-x²）＞0，得
f（1+x）＞-f（x-x²）=f（x²-x）．
則

-2＜1+x＜2 -2＜x2-x＜2 1+x＞x2-x

，解得：1-

2

＜x＜1．
∴滿足f（1+x）+f（x-x²）＞0的實數x的取值范圍是（1-

2

，1）．
故答案為：（1-

2

，1）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了不等式組的解法，體現(xiàn)了數學轉化思想方法，是中檔題．