Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列：1，2，，…；當(dāng)a=-時(shí)，得到有窮數(shù)列：-，-1，0．
（Ⅰ）求當(dāng)a為何值時(shí)a₄=0；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1=（n∈N₊），求證a取數(shù)列{b_n}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n}；
（Ⅲ）若＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）解法1：∵a_n+1=1+，∴a_n=，∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=-，a=a₁=-；
解法2：∵a₁=a，a_n+1=1+，∴a₂=．a(chǎn)₃=，a₄=，∵a₄=0，∴a=-．
（II）∵b_n+1=，∴b_n=+1，
若a取數(shù)列{b_n}的一個(gè)數(shù)b_n，即a=b_n，則a₂=1+=1+=b_n-1，a₃=1+=1+=b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+=0
所以數(shù)列{a_n}只能有n項(xiàng)為有窮數(shù)列．
（III）解法一：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png' />＜a_n＜2（n≥4）?（n≥5）??＜a_n-1＜2（n≥5）
所以＜a_n＜2（n≥4）?＜a₄＜2?＜＜2?a＞0
這就是所求的取值范圍．
分析：（I）解法1：由設(shè)條件知a_n=，由a₄=0，導(dǎo)出a₃=-1，進(jìn)而導(dǎo)出a₂=-，由此可知a=a₁=-．
解法2：由a₁=a，a_n+1=1+，可以推導(dǎo)出a₄=0，由此可知a=-．
（II）由b_n+1=，知b_n=+1，若a=b_n，則由題設(shè)條件能夠推出a_n=1+=0所以數(shù)列{a_n}只能有n項(xiàng)為有窮數(shù)列．
（III）由題設(shè)條件可知（n≥5），由此能夠推出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，避免錯(cuò)誤．