Question

已知圓C：x²+（y+2）²=4．
（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)M（-2，-3）的直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)直線l的方程為y+3=k（x+2），根據(jù)直線l與圓C相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式算出k=-

3

4

，得此時(shí)的l方程為3x+4y+18=0．結(jié)合當(dāng)l的斜率不存在時(shí)直線l也與圓C相切，可得滿足條件的直線l方程為3x+4y+18=0或x+2=0；
（II）設(shè)M（x，y），B（m，n），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出m=2x-2，n=2y．再由B（m，n）在圓C上運(yùn)動(dòng)，將B的坐標(biāo)（2x-2，2y）代入圓C的方程，化簡(jiǎn)即得所求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（I）設(shè)直線l的方程為y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0．
∵圓C：x²+（y+2）²=4的圓心為C（0，-2），半徑為2．
∴由直線l與圓C相切，得C到直線l的距離等于半徑，
即

|0+2+2k-3|

k2+1

=2，解之得k=-

3

4

．
∴此時(shí)直線l的方程為y+3=-

3

4

（x+2），即3x+4y+18=0；
又∵當(dāng)l與x軸垂直時(shí)斜率不存在，此時(shí)直線l方程為x+2=0，也與圓C相切，
∴滿足條件的直線l的方程為3x+4y+18=0或x+2=0；
（II）設(shè)M（x，y），B（m，n），可得
∵點(diǎn)A（2，0），M是AB的中點(diǎn)，
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

1 2 (m+2)=x 1 2 (n+0)=y

，解得m=2x-2，n=2y．
∵B（m，n）在圓C：x²+（y+2）²=4上運(yùn)動(dòng)，可得m²+（n+2）²=4，
∴（2x-2）²+（2y+2）²=4，化簡(jiǎn)得（x-1）²+（y+1）²=1，即為AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題給出已知圓C，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求滿足條件的線段中點(diǎn)的軌跡．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．