Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，點F是PD的中點，點E在CD上移動．
（1）求三棱錐E-PAB體積；
（2）當(dāng)點E為CD的中點時，試判斷EF與平面PAC的關(guān)系，并說明理由；
（3）求證：PE⊥AF．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出底面ABE的面積，求出高PA，即可求三棱錐E-PAB體積；
（2）點E為CD的中點，推出EF||PC，證明EF∥平面PAC即可；
（3）證明AF垂直平面PDC內(nèi)的兩條相交直線CD，PD，即可證明AF⊥平面PDC，從而證明PE⊥AF．
解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴．
（2）當(dāng)點E為BC的中點時，EF||平面PAC．
理由如下：∵點E，F(xiàn)分別為CD、PD的中點，
∴EF||PC．∵PC?平面PAC，EF?平面PAC∴EF||平面PAC
（3）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩矩形，
∴CD⊥AD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵AF?平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD，
點F是PD的中點∴AF⊥PD，
又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC
∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．
點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．