Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)對所有n∈N*都成立的m的范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx．
f'（x）=2ax+b，
∴2a=6b=-2．
∴f（x）=3x²-2x
（n，S_n）在y=3x²-2x上，
則S_n=3n²-2n．
又n≥2時a_n=S_n-S_n-1
=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）
=6n-5
又n=1時a₁=3-2=1=6×1-5符合，
∴a_n=6n-5．
（2）
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
=
．
∴m＞（7T_n）_max
T_n+1-T_n=b_n+1＞0，
∴T_n隨n增大而增大，
，
∴．
分析：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx．f'（x）=2ax+b，由2a=6b=-2，知f（x）=3x²-2x，由（n，S_n）在y=3x²-2x上，知S_n=3n²-2n．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由，知T_n==，由．由此能求出所有n∈N*都成立的m的范圍．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強，難度較大．易錯點是基礎(chǔ)知識不牢固，不會運用數(shù)列知識進行等價轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．