Question

在平面直角坐標系中，過圓x²+y²=1上的動點M作y軸的垂線且交y軸于點N，點Q滿足：

OQ

=2

OM

-

ON

．
（1）求點Q的軌跡方程C；
（2）設曲線C分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點，直線y=kx（k＞0）與曲線C交于E，F兩點，與線段AB交于點D，

ED

=6

DF

，求k值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x₀，y₀），Q（x，y），則N（0，y₀），由

OQ

=2

OM

-

ON

，能求出點Q的軌跡方程．
（2）由已知A（2，0），B（0，1），得到直線AB：x+2y=2．設D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），（x₁＜x₂），
由對稱性x₂=-x₁．將y=kx代入方程

x2

4

+y2=1，得x2=-x1=

2

1+4k2

，由

ED

=6

DF

，又點D在AB上，能求出k．

解答： 解：（1）設M（x₀，y₀），Q（x，y），則N（0，y₀），（2分）
由

OQ

=2

OM

-

ON

，得：

x=2x0 y=y0

，即

x0= x 2 y0=y

，（4分）
代入x²+y²=1，有：

x2

4

+y2=1．
∴點Q的軌跡方程C：

x2

4

+y2=1．（6分）
（2）由已知A（2，0），B（0，1），得到直線AB：x+2y=2．（8分）
設D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），（x₁＜x₂），
由對稱性x₂=-x₁．
將y=kx代入方程

x2

4

+y2=1，得x2=-x1=

2

1+4k2

．（10分）
由

ED

=6

DF

，得：x0=

x1+6x2

7

=

5

7

x2=

10

7 1+4k2

，
又點D在AB上，得：x0=

2

1+2k

．
由

2

1+2k

=

10

7 1+4k2

，解得k=

2

3

或k=

3

8

．（13分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要認真審題，注意向量知識的合理運用．