【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣a是奇函數(shù)
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,不等式f(x)<m﹣1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由f(x)是奇函數(shù),有f(﹣x)=﹣f(x),
∴ ﹣a=﹣( ﹣a),
∴2a=1,∴a=
(2)解:f(x)= ﹣ ,f(x)在R上是增函數(shù),
下證:設(shè)x1、x2∈R且x1<x2,且x1、x2是任意的,
f(x1)﹣f(x2)
=( ﹣ )﹣( ﹣ )
= ,
∵x1<x2,∴ < ,
∴ <0,
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在R上是增函數(shù)
(3)解:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,不等式f(x)<m﹣1恒成立,
則只需m﹣1>f(x)max,
∵3x+1>1,∴0< <1,
∴﹣1< <0,
﹣ < ﹣ < ,即﹣ <f(x)< ,
∴m﹣1≥ ,∴m≥ ,
即m的取值范圍為:[ ,+∞)
【解析】(1)由奇函數(shù)定義知,有f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,由此可求a值;(2)設(shè)x1、x2∈R且x1<x2 , 通過(guò)作差判斷f(x2)與f(x1)的大小,利用函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷;(3)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,不等式f(x)>2m﹣1恒成立,等價(jià)于m﹣1>f(x)max , 根據(jù)基本函數(shù)的值域可求出f(x)max .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖5所示,已知四棱錐中,底面為矩形, 底面, ,
, 為的中點(diǎn).
⑴指出平面與的交點(diǎn)所在位置,并給出理由;
⑵求平面將四棱錐分成上下兩部分的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求f(x)的解析式,并判斷f(x)的奇偶性;
(2)比較 與 的大小,并寫出必要的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為了對(duì)研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):
單價(jià)元 | 9 | 9.2 | 9.4 | 9.6 | 9.8 | 10 |
銷量件 | 100 | 94 | 93 | 90 | 85 | 78 |
(1)求回歸直線方程;
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是5元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)銷售收入成本)(附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,),,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn), 為的中點(diǎn),且直線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線與橢圓交于兩點(diǎn),原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某單位的職工食堂中,食堂每天以元/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包,然后以元/個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的面包以元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示.食堂某天購(gòu)進(jìn)了90個(gè)面包,以(單位:個(gè), )表示面包的需求量, (單位:元)表示利潤(rùn).
(Ⅰ)求關(guān)于的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于元的概率;
(III)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率(例如:若需求量,則取,且的概率等于需求量落入的頻率),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的解析式為 .
(1)用定義證明f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(2)求當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)的解析式.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c,當(dāng)x∈R時(shí)f(x)=f(2﹣x)恒成立,且3是f(x)的一個(gè)零點(diǎn). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(ax)(a>1),若函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值等于5,求實(shí)數(shù)a的值.
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