設(shè)向量
α
=（a，b），
β
=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|
α
•
β
|≤|
α
|•|
β
|恒成立，可以證明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（當且僅當
α
∥
β
，即an=bm時等號成立），己知x，y∈R+，若
x
+3
y
＜k•
x+y
恒成立，利用柯西不等式可求得實數(shù)k的取值范圍是
 
．
分析：由（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2），可得(
x
+3
y
)2≤（1+9）（x+y），結(jié)合x，y∈R+，
x
+3
y
＜k•
x+y
恒成立，即可求得實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：∵（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2），
∴(
x
+3
y
)2≤（1+9）（x+y），
∴
x
+3
y
≤
10
•
x+y
，
∵x，y∈R+，
x
+3
y
＜k•
x+y
恒成立，
∴k＞
10
．
故答案為：k＞
10
．
點評：本題考查柯西不等式，考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

銳角三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設(shè)向量
m
=(c-a，b-a)，
n
=(a+b，c)且
m
∥
n

（1）求角B的大��；
（2）若b=1，求a+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

三角形的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量
m
=(c-a，b-a)，
n
=(a+b，c)，若
m
∥
n
．
（1）求角B的大小；
（2）用A表示sinA+sinC，記作f（A），求函數(shù)y=f（A）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量
m
=（a，b），
n
=（sinB，sinA），
p
=（b-2，a-2）．
（1）若
m
∥
n
，試判斷△ABC的形狀并證明；
（2）若
m
⊥
p
，邊長c=2，∠C=
π
3
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量
m
=（a，b），
n
=（sinA，cosB），
P
=（1，1）．
（I）若
m
∥
n
，求角B的大小：
（Ⅱ）若
m
•
p
=4，邊長c=2，角c=
π
3
求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆浙江省高一下期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，設(shè)向量＝

（a＋b，c），＝（a＋c，b－a），若，則角B的大小為             ．

 

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