已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是圓x2+y2=1分別在第一、四象限的兩個(gè)點(diǎn)，C（5，0）滿足：
OA
•
OC
=3、
OB
•
OC
=4，則
OA
+t
OB
+
OC
(t∈R)模的最小值為
4
4
．
分析：設(shè)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），則
OA
=（cosα，sinα），
OB
=（cosβ，sinβ），
OC
=(5，0)，利用
OA
•
OC
=3、
OB
•
OC
=4，A，B是圓x2+y2=1分別在第一、四象限的兩個(gè)點(diǎn)，可得
OA
=(
3
5
，
4
5
)，
OB
=(
4
5
，-
3
5
)，從而可得
OA
+t
OB
+
OC
=(
4t+28
5
，
4-3t
5
)，由此可求
OA
+t
OB
+
OC
的模長的最小值．
解答：解：設(shè)A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），則
OA
=（cosα，sinα），
OB
=（cosβ，sinβ），
∵C（5，0），∴
OC
=(5，0)
∵
OA
•
OC
=3、
OB
•
OC
=4，
∴5cosα=3，5cosβ=4
∴cosα=
3
5
，cosβ=
4
5

∵A，B是圓x2+y2=1分別在第一、四象限的兩個(gè)點(diǎn)
∴sinα=
4
5
，sinβ=-
3
5

∴
OA
=(
3
5
，
4
5
)，
OB
=(
4
5
，-
3
5
)
∴
OA
+t
OB
+
OC
=(
4t+28
5
，
4-3t
5
)
∴
OA
+t
OB
+
OC
的模長=
(
4t+28
5
)2+(
4-3t
5
)2
=
t2+8t+32
=
(t+4)2+16
≥4
故答案為：4
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定向量的坐標(biāo)，利用配方法求最值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，2），B（4，6），
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；
（2）求證：當(dāng)t1=1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；
（3）若t1=a2，求當(dāng)
OM
⊥
AB
且△ABM的面積為12時(shí)，a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，2），B（4，6），
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求證：當(dāng)t1=1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；
（2）若t1=a2，求當(dāng)
OM
⊥
AB
且△ABM的面積為12時(shí)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浙江二模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，1），C（2，3）且2
AC
=
CB
，則
OB
的坐標(biāo)是
（4，7）
（4，7）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，1），B(3，4)，
OM
=t1
OA
+t2
AB
．
（1）求點(diǎn)M在第二象限或第三象限的充要條件；
（2）求證：當(dāng)t1=1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；
（3）若t1=2，求當(dāng)點(diǎn)M為∠AOB的平分線上點(diǎn)時(shí)t2的值．

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