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現有一組互不相同且從小到大排列的數據:a0,a1,a2,a3,a4,a5,其中a0=0.為提取反映數據間差異程度的某種指標,今對其進行如下加工:記T=a0+a1+…+a5,xn=,yn=(a0+a1+…+an),作函數y=f(x),使其圖象為逐點依次連結點Pn(xn,yn)(n=0,1,2, …,5)的折線.

(1)求f(0)和f(1)的值;

(2)設Pn-1Pn的斜率為kn(n=1,2,3,4,5),判斷k1、k2、k3、k4、k5的大小關系;

(3)證明當x∈(0,1)時,f(x)＜x.

思路解析:本題主要考查函數知識、斜率公式、分析問題解決問題的能力,結合已知采用分析法將所求問題轉化到能夠解決的范圍內.

(1)解:f(0)==0,f(1)==1.

(2)解:kn=,n=1,2, …,5,

因為a1＜a2＜a3＜a4＜a5,

所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5.

(3)證明:由于f(x)的圖象是連結各點Pn(xn,yn)(n=0,1, …,5)的折線,要證明f(x)＜x(0＜x＜1),只需證明f(xn)＜xn(n=1,2,3,4).事實上,當x∈(xn-1,xn)時,

f(x)=(x-xn-1)+f(xn-1)

=f(xn-1)+f(xn)

＜=x.

下面證明f(xn)＜xn.

對任何n(n=1,2,3,4),

5(a1+…+an)=［n+(5-n)］(a1+…+an)

=n(a1+…+an)+(5-n)(a1+…+an)

≤n(a1+…+an)+(5-n)nan=n［a1+…+an+(5-n)an］

＜n(a1+…+an+an+1+…+a5)=nT.

所以f(xn)=＜=xn.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•通州區(qū)一模）現有一組互不相同且從小到大排列的數據a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．記T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關系；
（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）＜x．

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科目：高中數學 來源：通州區(qū)一模 題型：解答題

現有一組互不相同且從小到大排列的數據a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．記T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn=
n
5
，yn=
1
T
(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關系；
（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）＜x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

20.現有一組互不相同且從小到大排列的數據：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0.為提取反映數據間差異程度的某種指標，今對其進行如下加工：記T=a0+a1+…a5，xn=，yn=（a0+a1+…+an），作函數y=f（x），使其圖像為逐點依次連接點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折線.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）設Pn－1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關系；

（Ⅲ）證明：f（xn）<xn（n=1，2，3，4）.

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科目：高中數學 來源：2013年北京市通州區(qū)高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

現有一組互不相同且從小到大排列的數據a，a1，a2，a3，a4，a5，其中a=0．記T=a+a1+a2+a3+a4+a5，，（n=0，1，2，3，4，5），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設直線Pn-1Pn的斜率為kn（n=1，2，3，4，5），判斷k1，k2，k3，k4，k5的大小關系；
（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）＜x．

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