Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面BB₁C₁C⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中點，M為AA₁上一動點．
（1）求證：AD⊥CC₁；
（2）若AM=MA₁，求證：AD∥平面MBC₁；
（3）若面MBC₁⊥面BB₁C₁C，求證：AM=MA₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）等腰△ABC中，中線AD⊥BC，結合線面垂直的性質定理，可得AD⊥面B₁BCC₁，從而AD⊥CC₁；
（2）取BC的中點E，連接DE、ME．利用三角形中位線定理，結合平行四邊形的性質，證出四邊形ADEM是平行四邊形，從而AD∥EM，可得AD∥平面MBC₁；
（3）過點M作ME⊥BC₁，垂足為E，連接EM．由線面垂直的性質定理，可得ME⊥面BB₁C₁C，結合AD⊥面B₁BCC₁，得ME∥AD．再根據(jù)線面平行的性質定理，證出DE∥AM，從而四邊形ADEM是平行四邊形．由此可得AM=DE=CC₁=AA₁，故AM=MA₁．
解答：解：（1）∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC
又∵面B₁BCC₁⊥面ABC，面B₁BCC₁∩面ABC=BC
∴AD⊥面B₁BCC₁，
又∵CC₁?面B₁BCC₁，∴AD⊥CC₁；
（2）取BC的中點E，連接DE、ME
∵△CC₁B中，DE是中位線
∴DE∥CC₁，且DE=CC₁，
又∵平行四邊形AA₁C₁C中，M是AA₁中點
∴AM∥CC₁，且AM=CC₁，
∴DE∥AM且DE=AM，可得四邊形ADEM是平行四邊形
∴AD∥EM，
∵AD?平面MBC₁且EM⊆平面MBC₁
∴AD∥平面MBC₁；
（3）過點M作ME⊥BC₁，垂足為E，連接EM
∵面MBC₁⊥面BB₁C₁C，面MBC₁∩面BB₁C₁C=BC₁，ME⊥BC₁，
∴ME⊥面BB₁C₁C，
∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC
又∵面B₁BCC₁⊥面ABC，面B₁BCC₁∩面ABC=BC
∴AD⊥面B₁BCC₁，可得ME∥AD
設AD、EM確定的平面為α，
∵AM∥面BB₁C₁C，AM⊆α，α∩面BB₁C₁C=DE，
∴DE∥AM
∴四邊形ADEM是平行四邊形，可得AM=DE
∵△BCC₁中，DE∥CC₁且D為BC的中點，∴DE=CC₁，
因此，可得AM=CC₁=AA₁，故AM=MA₁．
點評：本題給出特殊三棱錐，求證線面平行和線面垂直．著重考查了線面平行的判定與性質，線面垂直、面面垂直的性質與判定等知識，屬于中檔題．