Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（1）證明：直線A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的長(zhǎng)；
（3）在線段BC₁上是否存在點(diǎn)P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)推斷出平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理推斷出A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）設(shè)A₁A=h，進(jìn)而根據(jù)幾何體的體積關(guān)系求得棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積，進(jìn)而利用體積公式求得h．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點(diǎn)P，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，進(jìn)而根據(jù)QP∥CB，CB∥A₁D₁，推斷出QP∥A₁D₁，利用線面垂直的性質(zhì)證明出A₁P⊥C₁D．通過△D₁C₁Q∽R(shí)t△C₁CD，利用比例關(guān)系求得C₁Q，最后利用平方關(guān)系求得A₁P．

解答： （1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B?平面A₁AB，A₁B?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）解：設(shè)A₁A=h，
∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=

40

3

，
即SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的長(zhǎng)為4．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點(diǎn)P，則A₁P⊥C₁D．
∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，
∴A₁P⊥C₁D．
∵△D₁C₁Q∽R(shí)t△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，
∴C₁Q=1，
又∵PQ∥BC，
∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高D1Q=

5

，
∴A1P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生推理和分析能力．