Question

若a，b，l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是

π

3

，l與a、l與b所成的角都是α，則α的取值范圍是（　�。�

• A．[

  π

  6

  ，

  5π

  6

  ]
• B．[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• C．[

  π

  3

  ，

  5π

  6

  ]
• D．[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：在空間選取一點(diǎn)O，過O分別作a、b的平行線a'、b'，并設(shè)a'、b'確定的平面為β，再將直線l平移至l'，使l'經(jīng)過點(diǎn)O，根據(jù)直線與平面所成角的定義和異面直線所成角的定義，通過討論可得直線l與a、b所成的角范圍是[

π

6

，

π

2

]．

解答：解：在空間選取一點(diǎn)O，過O作a'∥a，b'∥b，設(shè)直線a'、b'確定的平面為β
將直線l平移至l'，使l'經(jīng)過點(diǎn)O
當(dāng)直線l'⊥β時(shí)，l'與a'、b'所成的角都是直角，
此時(shí)所成的角達(dá)到最大值；
當(dāng)直線l'恰好在平面β內(nèi)，且平分a'、b'所成的銳角時(shí)，
l'與a'、b'所成的角都是

π

6

，此時(shí)所成的角達(dá)到最小值
∴l(xiāng)'與a'、b'所成的角范圍是[

π

6

，

π

2

]
∵l'∥l，a'∥a，b'∥b，∴l(xiāng)'與a'、b'所成的角等于l與a、b所成的角
即l與a、b所成的角范圍是[

π

6

，

π

2

]．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題給出兩條異面直線的所成角，要我們找出與它們成等角的第三條直線所成角的范圍，著重考查了線面垂直、直線與平面所成角和異面直線所成角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．