Question

已知9^x-10•3^x+9≤0
（1）解上述不等式
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=(

1

4

)x-1-4•(

1

2

)x+2的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）令t=3^x＞0，則不等式即 t²-10t+9≤0，解得t的范圍，可得原不等式的解集．
（2）由（1）可得 0≤x≤2，令m=(

1

2

)x，可得m的范圍，函數(shù)即 y=4 (m-

1

2

)2+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y最大值和最小值及相應(yīng)的m的值，可得對(duì)應(yīng)的x值．

解答：解：（1）令t=3^x＞0，由不等式 9^x-10•3^x+9≤0 可得 t²-10t+9≤0，
解得 1≤t≤9，即3⁰≤3^x≤3²，
∴0≤x≤2，故原不等式的解集為[0，2]．
（2）由（1）可得 0≤x≤2，令m=(

1

2

)x，則有

1

4

≤m≤1，函數(shù)即 y=4m²-4m+2=4 (m-

1

2

)2+1，
故當(dāng)m=

1

2

時(shí)，函數(shù)y取得最小值為1，此時(shí)，x=1．
當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為 4×(1-

1

2

)2+1=2，此時(shí)x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．