已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130484911165.png)
過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048507660.png)
,橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048538313.png)
左右焦點分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048569441.png)
,上頂點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048585318.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048616578.png)
為等邊三角形.定義橢圓
C上的點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048632705.png)
的“伴隨點”為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048663850.png)
.
(1)求橢圓
C的方程;
(2)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048694743.png)
的最大值;
(3)直線
l交橢圓
C于
A、
B兩點,若點
A、
B的“伴隨點”分別是
P、
Q,且以
PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點
O.橢圓
C的右頂點為
D,試探究Δ
OAB的面積與Δ
ODE的面積的大小關(guān)系,并證明.
試題分析:解:(1)由已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130488031378.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048819630.png)
,方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048710707.png)
.4分
(2)當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048866519.png)
時,顯然
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048881812.png)
,由橢圓對稱性,只研究
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048913617.png)
即可,
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048928815.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048959420.png)
),于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048975735.png)
5分
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130490062530.png)
(當(dāng)且僅當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049022612.png)
時取等號) 8分
(3) 設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049053862.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130490841440.png)
;
1)當(dāng)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049100280.png)
的斜率存在時,設(shè)方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049131598.png)
,
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130491471135.png)
得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130491781188.png)
;
有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130491932204.png)
① 10分
由以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049209399.png)
為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O可得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049225766.png)
;
整理得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130492561219.png)
②
將①式代入②式得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049271703.png)
, 12分
又點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049318292.png)
到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049131598.png)
的距離
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049381798.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049396890.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130494271208.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130494431033.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049474997.png)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240130495051102.png)
14分
2) 當(dāng)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049100280.png)
的斜率不存在時,設(shè)方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049537728.png)
聯(lián)立橢圓方程得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049693869.png)
;
代入
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049225766.png)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049739905.png)
;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049771659.png)
,
綜上:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048757517.png)
的面積是定值
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013049880540.png)
的面積也為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013048788344.png)
,所以二者相等. 16分
點評:主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知F
1、F
2為雙曲線C:x²-y²=2的左、右焦點,點P在C上,|PF
1|=2|PF
2|,則cos∠F
1PF
2=( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013651988565.png)
與拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013652066469.png)
所圍成的圖形面積是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013156991869.png)
的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240131570071105.png)
的左焦點,且經(jīng)過拋物線與橢圓兩個交點的弦過拋物線的焦點,則橢圓的離心率為_____________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106650730.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106665302.png)
為雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106681313.png)
的右焦點,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106712626.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106712289.png)
為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106728310.png)
軸正半軸上的動點。
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013106759472.png)
的最大值為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在平面直角坐標(biāo)系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012959492445.png)
中,若雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012959523823.png)
的焦距為8,則
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
焦點在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012911943310.png)
軸上,漸近線方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012911958503.png)
的雙曲線的離心率為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知曲線
C:
y=2
x2,點
A(0,-2)及點
B(3,
a),從點
A觀察點
B,要實現(xiàn)不被曲線
C擋住,則實數(shù)
a的取值范圍是( )
A.(4,+∞) | B.(-∞,4) |
C.(10,+∞) | D.(-∞,10) |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓具有性質(zhì):若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212396423.png)
是橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212411313.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122124271030.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212442396.png)
為常數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212458239.png)
上關(guān)于原點對稱的兩點,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
是橢圓上的任意一點,若直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474367.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212489365.png)
的斜率都存在,并分別記為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
,那么
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212505409.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212520400.png)
之積是與點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212474289.png)
位置無關(guān)的定值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212614497.png)
.
試對雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240122126301074.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212442396.png)
為常數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012212458239.png)
寫出類似的性質(zhì),并加以證明.
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