如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側(cè)面均是邊長為2的正方形，AA1⊥底面ABC，D是線段BB1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A1CD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C-A1D-C1的正弦值．

（1）證明：連接AC1，設(shè)O=AC1∩A1C，連接OD
∵底面ABC為正三角形，側(cè)面均是邊長為2的正方形
∴DA=DA1=DC=DC1=，OA=OA1=OC=OC1
∴DO⊥AC1，DO⊥A1C
∵AC1∩A1C=O
∴DO⊥平面AA1C1C，
∵DO?平面A1CD
∴平面A1CD⊥平面AA1C1C；
（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OA1，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則O﹙0，0，0﹚，A1﹙0，，0﹚，C1﹙-，0，0﹚D﹙0，0，﹚則，
設(shè)平面A1C1D的法向量為，由，可得，取
又OA⊥平面A1CD，則平面A1CD的一個法向量為
∴cos==-
∴二面角C-A1D-C1的正弦值為．
分析：（1）證明DO⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的判定，可以證明平面A1CD⊥平面AA1C1C；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A1C1D的法向量，平面A1CD的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確運(yùn)用向量法解決面面角問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB'C'F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1：V2為（　�。�
A、3：2B、7：5C、8：5D、9：5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A=AC=2，BC=1，AB=
5
，則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1為菱形，∠A1AB=60°，四邊形BCC1B1為矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求證：平面A1CB⊥平面ACB1；
（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•通州區(qū)一模）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2
2
，CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一點(diǎn)，且
AN
AB
=
CM
CC1
，求證：CN∥平面AB1M；
（Ⅲ）若CM=
5
2
，求二面角A-MB1-C的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分別在線段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．
（1）求證：BC⊥AC1；
（2）試探究：在AC上是否存在點(diǎn)F，滿足EF∥平面A1ABB1，若存在，請指出點(diǎn)F的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．

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