Question

已知函數(shù)f_n（x）=1+x+x²+…+xⁿ（n∈N^*）．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，分別求函數(shù)f_n（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)n=2時(shí)，關(guān)于x的方程ln(x+1)=-

5

2

x+m+f(x)-1在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：對任意的正整數(shù)n，不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)直接利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可，當(dāng)n=2時(shí)借助于二次函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)n=3時(shí)，求出其導(dǎo)函數(shù)即可求出函數(shù)f_n（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為h(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-m在區(qū)間[0，2]上與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；求出其導(dǎo)函數(shù)，得到其單調(diào)性，根據(jù)其端點(diǎn)值滿足的條件即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）先令g（x）=ln（x+1）-x²-x，根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)得到其在定義域上的最大值，再取x=

1

n

，即可證明結(jié)論成立．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=1+x在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)n=2時(shí)，f（x）=1+x+x²在區(qū)間(-∞，-

1

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增：
當(dāng)n=3時(shí)，f（x）=1+x+x²+x³，導(dǎo)函數(shù)f''（x）=1+2x+3x²＞0對x∈R成立，f（x）=1+x+x²+x³在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由ln(x+1)=-

5

2

+m+f(x)-1得：h(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-m在區(qū)間[0，2]上與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
h/(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0，則h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＜0，則h（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減；
由題意得：

h(0)=-m≤0 h(1)=ln2-1+ 3 2 -m＞0 h(2)=ln3-4+3-m≤0

則ln3-1≤m＜ln2+

1

2

（3）令g（x）=ln（x+1）-x²-x，它的定義域?yàn)閧x|x＞-1}．
∴g/(x)=

-x(2x+3)

x+1

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴g（0）為g（x）在（-1，+∞）上的最大值
∴g（x）≤g（0）即ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立）
∴對任意n∈N^*，取x=

1

n

，則不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．