Question

【題目】設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)＝的a的值，并求此時(shí)函數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解 令cosx＝t，t∈[－1,1]，

則y＝2t2－2at－(2a＋1)

＝2(t－)2－－2a－1，

關(guān)于t的二次函數(shù)的對(duì)稱軸是t＝，

當(dāng)<－1，即a<－2時(shí)，

函數(shù)y在t∈[－1,1]上是單調(diào)遞增，

所以f(a)＝f(－1)＝1≠；

當(dāng)>1，即a>2時(shí)，

函數(shù)y在t∈[－1,1]上是單調(diào)遞減，

所以f(a)＝f(1)＝－4a＋1＝，

解得a＝，這與a>2矛盾；

當(dāng)－1≤≤1，即－2≤a≤2時(shí)，

f(a)＝－－2a－1＝，

即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，

因?yàn)椋?≤a≤2，所以a＝－1.

所以y＝2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，所以當(dāng)t＝1時(shí)，

函數(shù)取得最大值ymax＝2＋2＋1＝5.