Question

10．設二次函數f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0），方程f（x）=x的兩個實數根為x₁，x₂，若0＜x₁＜2，|x₂-x₁|=2，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 先有a＞0，知兩根同號，在分x₂-x₁=2，或x₁-x₂=2兩種情況來討論，最后綜合討論結果，可求b的取值范圍．

解答 解：由g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，知x₁•x₂=$\frac{1}{a}$＞0，故x₁與x₂同號．
∵0＜x₁＜2，|x₂-x₁|=2，
∴x₂-x₁=2，或x₁-x₂=2，
當x₂-x₁=2時，
∴x₂=x₁+2＞2．
∴$\left\{\begin{array}{l}g（2）＜0\\ g（4）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4a+2b-1＜0\\ 16a+4b-3＞0\end{array}\right.$⇒b＜$\frac{1}{4}$，
當x₁-x₂=2時，x₂=x₁-2＜0不滿足條件，
∴b的取值范圍為b＜$\frac{1}{4}$．

點評 利用函數的零點求參數范圍問題，通常有兩種解法：一種是利用方程中根與系數的關系或利用函數思想結合圖象求解．二種是構造兩個函數分別作出圖象，利用數形結合求解．此類題目也體現了函數與方程，數形結合的思想．