Question

已知為雙曲線的左、右焦點．
（Ⅰ）若點為雙曲線與圓的一個交點，且滿足，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的漸近線方程為，到漸近線的距離是，過的直線交雙曲線于A，B兩點，且以AB為直徑的圓與軸相切，求線段AB的長．

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)得：，又,
∴，故離心率
（Ⅱ）∵雙曲線的漸近線方程為，到漸近線的距離是，
∴ ，雙曲線方程為，，離心率，
設(shè)，∴，同理，
∵ 以AB為直徑的圓與軸相切，∴
，∴．
點評：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．